Leibnizov kriterij

U matematičkoj analizi, Leibnizov kriterij je metoda koja se koristi da se pokaže da je izmjenični (alternirani) red konvergentan kada njegovi članovi opadaju po apsolutnoj vrijednosti i kada je niz tih članova konvergentan s limesom u nuli. Ovaj test je koristio njemački matematičar i filozof Gottfried Leibniz te je po njemu i nazvano ovo pravilo.

Ovaj test je samo dovoljan, no ne i nužan uvjet, tako da neki konvergentni alternirani nizovi mogu pasti na prvom dijelu testa.

Iskaz teorema

Ako je $(a_{k})$, $a_{k}>0$ opadajući nula-niz (niz s limesom u nuli), tada je alternirani red $a_{1}-a_{2}+a_{3}-...+(-1)^{n+1}a_{n}+...=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}a_{n}$ konvergentan i za njegovu sumu $S$ i njegov $n$-ti ostatak $r_{n}$ vrijedi $0<s<a_{1}$ te je $|r_{n}|<a_{n+1}.$

Ako je pak $a_{k}<0,\forall k\in \mathbb {N}$, dokaz se provodi posve analogno.

Dokaz

Iz relacija $S_{2n+2}=S_{2n}+a_{2n+1}-a_{2n+2}\geq S_{2n}$ i $S_{2n+1}=S_{2n-1}-a_{2n}+a_{2n+1}\leq S_{2n-1}$, vidimo da niz $(S_{2n})$ monotono raste, a da niz $(S_{2n-1})$ monotono pada. Također, iz $S_{2}\leq S_{2n}=S_{2n-1}-a_{2n}<S_{2n-1}\leq S_{1}1$ vidimo da je niz $(S_{2n})$ ograničen odozgo sa $S_{1}$, a da je niz $(S_{2n-1})$ ograničen odozdo sa $S_{2}$ pa su oba ova niza konvergentna. Dakako, postoje $\lim _{n\to \infty }S_{2n}$ i $\lim _{n\to \infty }S_{2n-1}$ u $\mathbb {R}$. Zato imamo da vrijedi

$\lim _{n\to \infty }S_{2n-1}-\lim _{n\to \infty }S_{2n}=-\lim _{n\to \infty }a_{2n}=0$ i zaključujemo da je $\lim _{n\to \infty }S_{2n}=\lim _{n\to \infty }S_{2n-1}(=S)$ pa niz $(Sn)$ konvergira k $S$, što znači da je $\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}a_{k}=S$.

Sada iz $S_{2n}<S<S_{2n-1}$ slijedi $0<S_{2}<S<S_{1}=a_{1}$, tj. $0<s<a_{1}$. (*)

Preostaje još ocijeniti $n$-ti ostatak $r_{n}$. Iz $(-1)^{n}r_{n}=a_{n+1}-a_{n+2}+...$ koristeći (*) zaključujemo da je $|(-1)^{n}r_{n}|=|r_{n}|<a_{n+1}$, što je i trebalo pokazati.