Vivianijev teorem
Vivianijev teorem je rezultat u euklidskoj geometriji kojega je početkom 18. stoljeća dokazao talijanski matematičar Vincenzo Viviani.
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/e/ed/Viviani.png/250px-Viviani.png)
Teorem tvrdi da je za bilo koju izabranu točku unutar jednakostraničnog trokuta zbroj udaljenosti točke od stranica trokuta jednak visini tog trokuta.[1]
Dokaz preko površina
urediNeka su i nožišta okomica iz točke na stranice i trokuta , a visina trokuta . Prikažimo površinu trokuta pomoću zbroja površina tri trokuta .
Odovuda slijedi
Zanimljivosti
urediZanimljivo je da se Vivianijev teorem može poopćiti i na pravilne mnogokute.
Naime, vrijedi da je zbroj udaljenosti bilo koje točke pravilnog n-terokuta do njegovih stranica neovisan o položaju točke .
Dokaz. Ako su stranice pravilnog n-terokuta duljine , a udaljenosti od točke do stranica tog n-terokuta , tada je površina poligona jednaka , dakle vrijedi
Može se dokazati da generalizacija Vivianijeva teorema vrijedi i za poligone kojima su svi unutarnji kutovi sukladni, tj. za tzv. ekviangularne poligone.