T-ravnalo (fraktal)

T-ravnalo je fraktal fraktalne dimenzije 2, a topološke 1. Ime je dobio po crtaćem priboru.

T-ravnalo, 8. iteracija

Konstrukcija

uredi

Počnimo od kvadrata (zvat ćemo ga graničnim kvadratom), bijele boje na slici ispod, i od njega oduzmimo kvadrat upola kraće stranice smješten u sredinu graničnog kvadrata, crne boje (prva iteracija). Granični kvadrat podijelimo na četiri jednaka kvadrata i ponovimo postupak (druga iteracija). Svaki od ta četiri kvadrata podijelimo na još četiri itd. T-ravnalom zovemo granicu crne i bijele površine.

 

Svojstva

uredi

T-ravnalo je beskonačno duga krivulja, ali ona okružuje konačnu površinu. Duljina krivulje nakon prve iteracije jest 4, ako uzmemo da granični kvadrat (vidi iznad) ima dimenzije 2 × 2, a površina 1. Nakon prve iteracije od prvog kvadrata ostaju 4 dužine duljine po   te se dodaju još 4 kvadrata s dvije stranice duljine   i dvije duljine  , pa je to  . Površina se poveća za   (četiri dodatna kvadrata površine  , ali bez svoje jedne četvrtine). Nakon druge iteracije, duljina krivulje jest 2 od prvog kvadrata, 3 od kvadratâ iz prve iteracije (od svakog od četiri kvadrata ostaje  ) te 9 od novih kvadrata (duljina granice svakog od 12 kvadrata jest  ), dakle  . Površina se povećava za   (svaki od 12 kvadrata ima površinu  ). Prema tome, nakon beskonačnog broja iteracija, duljina krivulje je beskonačna, a površina, prema formuli za sumu geometrijskog reda, četiri puta veća od prvog kvadrata, odnosno jednaka površini graničnog kvadrata:

 .

Vidi još

uredi