Napierove kosti

Napierove kosti su neka vrsta mehaničkog računala koje služi za množenje, dijeljenje i računanje drugog korijena. Napierove kosti je izumio škotski matematičar John Napier. Svoj izum je opisao u djelu koje se zove «Rabdology». Knjiga je izdana u Edinburghu krajem 1617.

Sastoje se od ploče s okvirom unutar koje se stavljaju štapići s brojevima. Prve verzije napierovih kostiju su bile izrađene na slonovači po čemu su i dobile ime. Lijevi rub ploče je podijeljen na 9 kvadrata u kojima su brojevi od 1 do 9. Štapići su također podijeljeni na 9 kvadrata tako da su svi osim prvog podijeljeni dijagonalnom crtom. U prvom kvadratu se nalazi neki broj od 1 do 9 dok su ostali kvadrati na štapiću umnošci tog broja s brojem na lijevom rubu ploče u čijem se redu nalazi.

Primjeri množenja napierovim kostima

Ako na primjer želimo pomnožiti broj 46785399 s brojem 7 onda na ploču stavimo štapiće kojima su u prvim kvadratima redom brojevi 4, 6, 7, 8, 5, 3, 9, 9 i pročitamo brojeve u redu u kojem se na lijevom rubu ploče nalazi broj 7. Rezultat se dobiva tako da se zapišu brojevi koje čitamo s desna na lijevo zbrajajući one brojeve koji se nalaze između dvije dijagonalne crte, a onaj zbroj koji je veći od 9 se zapisuje tako da se broj jedinica zapisuje a broj desetica prenosi.

Ako želimo pomnožiti dva velika broja kao što su 46785399 i 96431 postupak je sljedeći:

• na ploču stavimo štapiće koji u prvom redu pokazuju veći od faktora
• njega množimo sa svakim brojem drugog faktora posebno, počevši od broja na mjestu jedinice koristeći metodu iz prethodnog primjera
• rezultate zapisujemo jedan ispod drugog tako da svaki sljedeći uvučemo za jedno mjesto
• na kraju rezultate zbrojimo i tako dobijemo konačni rezultat

Primjer dijeljenja napierovim kostima

Želimo podijeliti broj 46785399 s brojem 96431. Složimo štapiće na ploču tako da u prvom redu daju broj djelitelja. Zapišemo umnoške tog broja sa svim jednoznamenkastim brojevima kao što je prikazano na slici. Budući da djeljenik ima osam brojeva a svi umnošci djelitelja s jednoznamenkastim brojevima najviše šest, zadnja dva broja djeljenika privremeno zanemarimo, tako da dijeljenik prvo gledamo u skraćenom obliku (bez zadnja dva broja).

Zatim tražimo najveći umnožak djelitelja koji je manji od skraćenog djeljenika. U ovom slučaju je to broj 385724. Taj broj se nalazi u četvrtom redu tako da zapisujemo broj 4 kao prvi broj gledano s lijeva na desno u rezultatu dijeljenja. Poslije toga od skraćenog djeljenika oduzmemo broj 385724. Rezultat je broj 82129, jer on ima samo pet znamenki na mjesto jedinica mu dodamo predzadnji broj djeljenika koji je prije toga bio zanemaren. Zatim tražimo najveći umnožak djelitelja koji je manji od broja 821299. Time ponavljamo postupak sve dok ne dobijemo broj manji od djelitelja. U ovom primjeru rezultat bi bio 485 s ostatkom 16364. Ali ako želimo možemo istim postupkom dobiti i decimalni broj.

Primjer dobivanja drugog korijena napierovim kostima

Za dobivanje drugog korijena koristimo dodatne štapiće koji se razlikuju od ostalih po tome što imaju tri stupca na sebi. Prvi stupac sadrži prvih devet kvadrata, drugi parne brojeve od 2 do 18, a treći brojeve od jedan do devet.

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	√
1	0/1	0/2	0/3	0/4	0/5	0/6	0/7	0/8	0/9	0/1     2   1
2	0/2	0/4	0/6	0/8	1/0	1/2	1/4	1/6	1/8	0/4     4   2
3	0/3	0/6	0/9	1/2	1/5	1/8	2/1	2/4	2/7	0/9     6   3
4	0/4	0/8	1/2	1/6	2/0	2/4	2/8	3/2	3/6	1/6     8   4
5	0/5	1/0	1/5	2/0	2/5	3/0	3/5	4/0	4/5	2/5   10   5
6	0/6	1/2	1/8	2/4	3/0	3/6	4/2	4/8	5/4	3/6   12   6
7	0/7	1/4	2/1	2/8	3/5	4/2	4/9	5/6	6/3	4/9   14   7
8	0/8	1/6	2/4	3/2	4/0	4/8	5/6	6/4	7/2	6/4   16   8
9	0/9	1/8	2/7	3/6	4/5	5/4	6/3	7/2	8/1	8/1   18   9

Želimo pronaći drugi korijen od broja 46785399. Prvo grupiramo brojeve po dva krečući s desna na lijevo:

46 78 53 99

Počinjemo s brojem 46 (prvom grupom), nađemo najveći kvadrat na dodatnom štapiću manji od 46, a to je 36. Budući da se 36 nalazi u šestom redu, broj 6 je prvi broj u rješenju. Sad pročitamo drugi stupac trećeg reda na dodatnom štapiću, tu je broj 12. Zatim složimo broj 12 na ploču. Oduzmemo 36 od 46 i tome pridodamo sljedeću grupu brojeva. To je broj 78. Tako dobijemo broj 1078.

1 2 √ 1 0/1 0/2 0/1     2   1 2 0/2 0/4 0/4     4   2 3 0/3 0/6 0/9     6   3 4 0/4 0/8 1/6     8   4 5 0/5 1/0 2/5   10   5 6 0/6 1/2 3/6   12   6 7 0/7 1/4 4/9   14   7 8 0/8 1/6 6/4   16   8 9 0/9 1/8 8/1   18   9

_____________ √46 78 53 99 = 6 36 -- 10 78

Sad pročitamo broj iz svakog reda (zanemarujući drugi i treći stupac dodatnog štapića). Na primjer broj u šestom redu je 756.

0/6 1/2 3/6 → 756

1 2 √ (value) 1 0/1 0/2 0/1     2   1 121 2 0/2 0/4 0/4     4   2 244 3 0/3 0/6 0/9     6   3 369 4 0/4 0/8 1/6     8   4 496 5 0/5 1/0 2/5   10   5 625 6 0/6 1/2 3/6   12   6 756 7 0/7 1/4 4/9   14   7 889 8 0/8 1/6 6/4   16   8 1024 9 0/9 1/8 8/1   18   9 1161

_____________ √46 78 53 99 = 68 36 -- 10 78 10 24 ----- 54

Nađemo najveći broj koji je manji od 1078. To je 1024, a on se nalazi u osmom redu. Time dobijemo da je 8 sljedeći broj u rješenju. Od 1078 oduzmemo 1024 i dobijemo 54. Pročitamo drugi stupac osmog reda. Tu je broj 16. Za sljedeći korak trebamo složiti ploču tako da broj koji se trenutno nalazi na ploči, a to je 12 zbrojimo s prvom znamenkom broja 16 i toj sumi pridodamo drugu znamenku broja 16.

12 + 1 = 13 → pridodamo 6 → 136

Ploča sad izgleda ovako:

1 3 6 √   1 0/1 0/3 0/6 0/1     2   1 1361 2 0/2 0/6 1/2 0/4     4   2 2724 3 0/3 0/9 1/8 0/9     6   3 4089 4 0/4 1/2 2/4 1/6     8   4 5456 5 0/5 1/5 3/0 2/5   10   5 6825 6 0/6 1/8 3/6 3/6   12   6 8196 7 0/7 2/1 4/2 4/9   14   7 9569 8 0/8 2/4 4/8 6/4   16   8 10944 9 0/9 2/7 5/4 8/1   18   9 12321

_____________ √46 78 53 99 = 683 36 -- 10 78 10 24 ----- 54 53 40 89 ----- 13 64

Cijeli postupak se ponavlja dok se ne dođe do konačnog rješenja.

Nedovršeni članak Napierove kosti koji govori o matematici treba dopuniti. Dopunite ga prema pravilima Wikipedije.