Mandelbrotov skup
Mandelbrotov skup je skup točaka c kompleksne ravnine za koje je Julijin skup (u užem smislu) povezan. Dobio je ime po francusko-američkom matematičaru Benoîtu Mandelbrotu.
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/2/21/Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg/300px-Mandel_zoom_00_mandelbrot_set.jpg)
Konstrukcija
urediU Julijin skup (u užem smislu), kao što je već rečeno, može se uvrstiti bilo koji kompleksni broj c. Ovisno o tom broju, Julijin skup može biti povezan ili nepovezan. Ako na kompleksnoj ravnini označimo sve brojeve c pomoću kojih se dobiva povezan Julijin skup, definirali smo Mandelbrotov skup. Mandelbrotov se skup može prikazati na isti način na koji se najčešće prikazuje Julijin skup – bojeći točke koje pripadaju skupu crno, a ostale u raznim nijansama ovisno o tome koliko brzo divergiraju.
Svojstva
urediOsnovna
urediMandelbrotov je skup zatvoren skup kojemu su sve točke unutar (zatvorenog) kruga polumjera 2 sa središtem u ishodištu. Štoviše, točka c pripada Mandelbrotovom skupu ako i samo ako vrijedi za sve . Drugim riječima, ako je apsolutna vrijednost za neki veća od 2, niz će težiti u beskonačnost (divergirati). Presjek Mandelbrotovog skupa s realnom osi daje interval [−2, 0.25]. Površina se procjenjuje na 1.506 591 77 ± 0.000 000 08, te se vjeruje da je jednako
Samosličnost
urediMandelbrotov je skup kvazi samosličan (vidi Podjela fraktala) jer se u njemu pojavljuju izmijenjene verzije njega samog. Izmijenjene su uglavnom zbog skupova točaka koji "vire" iz njih povezujući ih s glavnim dijelom (dio 1 u podnaslovu ispod, slika desno).
Atraktori perioda-n
urediZanimljivo je da u području označenu brojkom 1 na slici sa strane svaka točka konvergira samo jednoj vrijednosti (ne nužno istoj za svaku točku), odnosno tijekom iteracija stvara atraktor perioda-1 (vidi Bifurkacijski dijagram populacijske jednadžbe). Na području 2 svaka točka čini atraktor perioda-2. U Mandelbrotovom skupu postoji barem jedno područje za atraktor perioda-n, . Područja koja su izravno spojena s područjem 1 tvore atraktor perioda-n ako iz njih "viri" n-1 "antena":
Galerija uvećavanja
urediSvaka slika predstavlja jedan uvećani dio prethodne. Vidljiva je beskonačna složenost skupa i bogatstvo geometrijskih struktura. Uvećanje zadnje slike u odnosu na prvu je otprilije 60 000 000 000 : 1. Na prosječnom monitoru zadnja slika bi bila dio Mandelbrotovog skupa promjera oko 20 milijuna kilometara.
početak |
1. korak |
2. korak |
3. korak |
4. korak |
5. korak |
6. korak |
7. korak |
8. korak |
9. korak |
10. korak |
11. korak |
12. korak |
13. korak |
14. korak |
Varijacije
urediMoguće je napraviti Mandelbrotov skup pomoću funkcije . Takvi se skupovi popularno nazivaju multibrot skupovima.