Linearna kombinacija

Linearna kombinacija vektora osnovni je pojam teorije vektorskih prostora u linearnoj algebri.

Neka je -dimenzionalni vektorski prostor nad poljem te neka je Tada se suma naziva linearna kombinacija vektora .[1]

Unatoč svojoj jednostavnosti, pojam linearne kombinacije često se smatra ishodišnom točkom u daljnjem proučavanju vektorskih prostora i svojstava vektora.

Linearna ljuska

uredi

Neka imamo linearno nezavisan skup vektora, iako će isto vrijediti i ako je skup linearno zavisan,   koji je podskup vektorskog prostora  . Skup svih linearnih kombinacija vektora   naziva se linearna ljuska ili rjeđe linearni omotač skupa   i označava se s  . Dakle,   Nije teško pokazati da je linearna ljuska najmanji vektorski potprostor vektorskoga prostora koji sadržava sve konačne linearne kombinacije elemenata danoga skupa vektora.   se naziva potprostorom generiranim ili razapetim skupom  .[2]

Geometrija ravnine

uredi

Linearnom kombinacijom dva bazna vektora   realne ravnine   dobivamo čitavu ravninu  . To je zato što se svaka usmjerena dužina, koja je zadana svojom krajnjom točkom  , može dobiti kao linearna kombinacija vektora  .

To je očito kod slučaja kada su   jedinični vektori (orti) koji redom leže na apscisnoj i ordinatnoj osi s početnom točkom u ishodištu koordinatnog sustava. Naime, tada je svaki vektor   s krajnjom točkom   moguće prikazati kao  .

Izvori

uredi
  1. Sheldon Axler, Linear algebra done right, Springer, 2015.
  2. Kraljević, Hrvoje. 2007. Vektorski prostori (PDF). math.pmf.unizg.hr. Inačica izvorne stranice arhivirana 7. studenoga 2020. Pristupljeno 2. srpnja 2021.CS1 održavanje: bot: nepoznat status originalnog URL-a (link)