Kvadratna nejednadžba

Pod kvadratnom nejednadžbom podrazumijevamo nejednadžbu u kojoj se nepoznata veličina pojavljuje pod znakom potencije 2.

Kvadratna nejednadžba

uredi

Kvadratna nejednadžba gdje je  

uredi

Kvadratnu nejednadžbu gdje je b = 0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

 

iz čega slijedi da je:

 

Ako su oba člana a i c pozitivna ili negativna, tada nejednadžba neće imati rješenje u skupu realnih brojeva. Ako je točno jedan od članova negativan (odnosno pozitivan), nejednadžba će imati kao rješenje skup svih vrijednosti x iz intervala:   i  ,

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

  .

Rješavajući jednadžbu nalazimo, redom:

 
 
 ,

gdje se skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju početnoj nejednadžbi nalazi unutar intervala   i  ,

Kvadratna nejednadžba gdje je c=0

uredi

Kvadratnu nejednadžbu gdje je c=0 možemo prikazati, na primjer, u obliku:

 

što se može prikazati i kao:

 .

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

   i   te
   i  

odakle se može zaključiti o intervalu unutar kojeg se nalazi skup svih vrijednosti x koje udovoljavaju nejednadžbi.

Primjer:

Neka je zadana nejednadžba:

 .

Gornji uvjet je ispunjen u dva različita slučaja:

   i   i
   i  

gdje iz a) slijedi da mora biti x<0 i x>-4, te iz b) slijedi da mora biti x>0 i x<-4 Uvjet pod b) je nemoguć, a uvjet pod a) daje sve vrijednosti x za koje je nejednadžba rješiva, gdje se skup vrijednosti x nalazi unutar intervala:

 .

Kvadratna nejednadžba sa svim članovima

uredi

Kvadratnu nejednadžbu sa svim članovima, oblika:

  ili
 

najlakše je riješiti na način da se nađe rješenje odgovarajuće kvadratne jednadžbe:

 

da se odredi graf funkcije:

 

te da se tada iz grafa funkcije odredi za koje intervale vrijednosti x je funkcija veća od nule, jednaka nuli ili manja od nule u sukladnosti sa zadatkom.

Primjer:

 
 

Neka je zadana nejednadžba:

 .

U cilju nalaženja svih vrijednosti x koje koje udovoljavaju nejednadžbi, nalazimo najprije rješenje jednadžbe:

 

gdje su rješenja:

 .

Razmatrajući funkciju (slika desno):

 ,

zaključujemo da su rješenja kvadratne jednadžbe nultočke   i   grafa funkcije . Za sve vrijednosti x za koje je i vrijednost funkcije manja ili jednaka nuli bit će ispunjen uvjet dat u nejednadžbi da je:

 

Sve vrijednosti x iz intervala:   bit će zato skup vrijednosti rješenja zadane nejednadžbe. Kvadratna nejednadžba samo je poseban slučaj polinomne nejednadžbe n-tog reda za n=2, gdje se takva nejednadžba općenito može riješiti ako se mogu naći ishodišta odgovarajuće polinomne funkcije.

Literatura

uredi
  • Gusić J., Mladinić P., Pavković B., "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.