Kvadratna funkcija
Kvadratna funkcija je polinomna funkcija gdje je najveća potencija Najčešće se zapisuje u obliku
![](http://up.wiki.x.io/wikipedia/commons/thumb/f/f8/Polynomialdeg2.svg/300px-Polynomialdeg2.svg.png)
graf kvadratne funkcije u koordinatnom sustavu je parabola.
Na primjer,
je kvadratna funkcija, čiji je graf prikazan je na slici desno.
Nultočke funkcije
urediU analizi osobina neke funkcije uobičajeno je najprije naći nultočke funkcije, odn. nultočke grafa funkcije za koje funkcija poprima vrijednost nula. U prikazanom slučaju to vodi rješavanju kvadratne jednadžbe
rješenja koje su :
Točke i predstavljaju zato nultočke grafa funkcije
- .
U jednostavnijim slučajevima nultočke funkcije možemo naći neposredno iz same funkcije. Naime, razmatrajući funkciju
na prvi pogled je vidljivo da se ona može prikazati u obliku umnoška dva binomna člana kao
gdje će očito vrijednost funkcije biti jednaka nuli za i .
Ako graf funkcije zaista siječe apscisu, odn. x-os koordinatnog sustava, tada će nultočke funkcije biti realni brojevi jer su i rješenja kvadratne jednadžbe realna. Međutim, ako graf funkcije ne siječe x-os tada niti odgovarajuća kvadratna jednadžba neće imati realna rješenja, već će se rješenja nalaziti u domeni kompleksnih brojeva.
Tjeme grafa funkcije
urediU primjeru datu kvadratnu funkciju možemo razmatrati i kao parabolu osnovnog oblika
no pomaknutu iz središta koordinatnog sustava, gdje je p poluparametar parabole. Iz funkcije zadane sa
može se naći redom
odakle slijedi da su koordinate tjemena T grafa funkcije određene koordinatama x=0,5 i y=-2,25 te govorimo o grafu funkcije čije je tjeme "pomaknuto" izvan središta koordinatnog sustava.
Ekstremi kvadratne funkcije
urediKvadratna funkcija ima jedan ekstrem, minimum ili maksimum funkcije, a ovisno o predznaku vodećeg člana funkcije. Za funkciju
to će biti minimum funkcije (a>0) koji se na grafu funkcije nalazi u točki gdje je smješteno tjeme funkcije T. Ekstrem funkcije može se naći i na drugi način. Diferencirajući funkciju nalazimo da je
- odakle slijedi da je
Ekstrem funkcije postoji za dy/dx=0 što vrijedi za x=1/2, a to je upravo x koordinata tjemena parabole u grafu. Kako je, nadalje, druga derivacija za svaki x veća od nule, očito se zaista radi o minimumu funkcije što se evidentno vidi i iz grafa funkcije.
Parabola i kvadratna funkcija
urediParabola je kao krivulja de facto graf kvadratne funkcije. Valja samo ustanoviti vezu između odgovarajućih članova polinoma kvadratne funkcije te poluparametra p parabole.
Paraboli s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava i osnosimetričnoj u odnosu na y-os koordinatnog sustava odgovara tjemena jednadžba oblika
odakle slijedi da je
Uspoređujući parabolu s tjemenom u ishodištu koordinatnog sustava kao grafa odgovarajuće kvadratne funkcije nalazimo da je
gdje je evidentno
- , odnosno
što predstavlja neposrednu vezu poluparametra parabole p i vodećeg člana a polinoma kvadratne funkcije. Do odgovarajuće sličnih odnosa može se doći i razmatranjem parabole, odn. odgovarajućeg grafa kvadratne funkcije s pomaknutim tjemenom izvan središta koordinatnog sustava.
Konačno, valja napomenuti da paraboli definiranoj tjemenom jednadžbom
odgovara inverzna kvadratna funkcija oblika
gdje će sada, naravno, članovi a, b i c poprimiti neke druge vrijednosti, a uz zadržavanje svih odgovarajućih ekvivalentnih odnosa.
Značaj kvadratne funkcije
urediRazmatranje svojstava kvadratne funkcije često je na neki način uvod u analizu sve složenijih matematičkih funkcija i uvod u matematičku analizu općenito. Kvadratnu funkciju, međutim, vrlo često nalazimo u prirodi u različitim fizikalnim sustavima jer je, na primjer, u svakom ubrzanom gibanju prijeđeni put ovisan o kvadratu vremena, električna snaga na otporniku ovisna je o veličini otpora i kvadratu struje koja prolazi kroz njega, električna energija pohranjena u kondenzatoru ovisi o njegovu kapacitetu i kvadratu napona koji postoji na njegovim oblogama i td.
Literatura
uredi- Gusić J., Mladinić P., Pavković B, "Matematika 2", Školska knjiga, Zagreb, 2006.
- Antoliš S., Copić A., "Matematika 4", Školska knjiga, Zagreb, 2006.