Binetova formula je izraz za računanje
-tog Fibonaccijevog broja kojeg označavamo s
, počevši od
Formula je nazvana po francuskom matematičaru Jacquesu Philippeu Binetu, iako je poznato da je za nju, stoljeće prije njega, znao Abraham de Moivre.
Ako s
označimo
tada formula glasi
[1]
Uočimo da su
oba rješenja zlatne jednadžbe
Dokaz Binetove formule će zbog toga biti skriven upravo u toj jednadžbi.
Binetovu formulu ćemo dokazati metodom matematičke indukcije.
Uočimo što ćemo dobiti uzastopnim množenjem zlatne jednadžbe s :
Uočavamo da su koeficijenti uz i uzastopni Fibonaccijevi brojevi pa naslućujemo da vrijedi
uz dodatak Gore smo pokazali da tvrdnja vrijedi za
Pretpostavimo sada da tvrdnja vrijedi za neki tj. da je
Iz pretpostavke slijedi što daje
Sada iz temeljne jednakosti zamjenom slijedi iz čega je
odnosno što je i trebalo dokazati.
Znamo da su rješenja jednadžbe pa također zadovoljavaju i jednakosti Zato možemo pisati
Oduzimanjem ove dvije jednadžbe slijedi a kako je konačno dobivamo [2]