Bernoullijeva nejednakost
Bernoullijeva nejednakost je nejednakost nazvana po Jacobu Bernoulliju koja služi za aproksimaciju potenciranja 1 + x. Također, ova se nejednakost često koristi za dokazivanje drugih nejednakosti u realnoj analizi.
Ona glasi ovako: za svaki prirodni broj i svaki realni broj vrijedi Jednakost vrijedi samo kada je ili Uočimo da za paran broj nejednakost ima rješenja za svaki realni
Jacob Bernoulli ju je prvi objavio u svojem djelu “Positiones Arithmeticae de Seriebus Infinitis” (Basel, 1689.).
Dokazi
urediDokaz matematičkom indukcijom
urediNejednakost se najčešće dokazuje metodom matematičke indukcije pa ćemo ga ovdje navesti. Za tvrdnja očito vrijedi. Pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za neki Onda je prema pretpostavci No, desna strana nejednakosti je jednaka (jer je ) pa prema tome tvrdnja vrijedi i za čime je ovaj teorem dokazan.
Dokaz binomnim teoremom
urediNejednakost se za također može dokazati jednostavno koristeći binomni poučak. Dakle, iz binomnog poučka slijedi što je jednako Očito je pa je konačno
Dokaz pomoću derivacije
urediDokazujemo Bernoullijevu nejednakost elementarnim diferencijalnim računom.
Neka je Očito je . Isto tako vrijedi pa je funkcija rastuća te je što je i trebalo dokazati.[1]
Primjene
urediBernoullijevom nejednakošću može se dokazati korisna nejednakost . Naime, vrijedi .
Ova se nejednakost može pokazati i direktno. Neka je funkcija definirana s . Tada je derivacija funkcije jednaka . Za svaki je pa je . Dakle, funkcija raste na intervalu pa kako je neprekidna u točki slijedi za svaki , odnosno , što je i trebalo pokazati.
Izvori
uredi- ↑ Branimir Dakić, Neven Elezović, Matematika 4, udžbenik matematike za 4. razred prirodoslovno-matematičke gimnazije, Element, Zagreb, 2015.