Arhimedov aksiom
Arhimedov aksiom jedan je od temeljnih teorema u matematičkoj analizi koji tvrdi da za bilo koja dva pozitivna realna broja i postoji prirodan broj takav da je .[1]
Iz teorema odmah slijedi da, primjerice, skup prirodnih brojeva nije ograničen odozgo.
Grubo govoreći, ovo je svojstvo nepostojanja beskonačno velikih (ili beskonačno malih) elemenata u skupu realnih brojeva.
Dokaz
urediPretpostavimo da tvrdnja teorema nije istinita, tj. da postoje pozitivni realni brojevi i takvi da je za svaki . To znači da je skup omeđen odozgo ( je jedna gornja međa) pa po aksiomu potpunosti postoji . Sada iz tzv. karakterizacije supremuma slijedi da za svaki postoji takav da je . Specijalno za dobijemo , tj. , a to je kontradikcija s činjenicom da je gornja međa skupa pa tvrdnja teorema vrijedi.
Povijest
urediIme ovom teoremu dao je 1880-ih njemački matematičar Otto Stolz koji ga je tako nazvao po velikom starogrčkom matematičaru i fizičaru Arhimedu.
Iako se u modernoj matematici ne smatra aksiomom, ovaj se teorem pojavljuje u petoj knjizi čuvenih Euklidovih Elemenata kao definicija 4: "Kaže se da su dvije veličine u omjeru jedna prema drugoj ako neki višekratnik ma koje od njih može biti veći od druge."[2]
Arhimed je otkriće ovog svojstva pripisivao Eudoksu iz Knida pa je ovaj teorem još poznat i kao "Eudoksov teorem" ili "Eudoksov aksiom".[3]
Izvori
uredi- ↑ Arhimed
- ↑ Euklidovi elementi: Knjiga I
- ↑ Knopp, Konrad. 1951. Theory and Application of Infinite Series English 2nd izdanje. Blackie & Son, Ltd.. London and Glasgow. str. 7. ISBN 0-486-66165-2