Aproksimacija funkcija

Aproksimacija funkcija je matematički problem zamjene zadane funkcije f nekom drugom funkcijom g, na određenom intervalu, koja je u nekom smislu blizu početnoj funkciji i pripada nekoj unaprijed definiranoj klasi funkcija.[1] Nešto manje formalan opis aproksimacije funkcije jest da je to funkcija koja nije potpuno ista kao početna, ali se mnogo lakše izračunava i u željenom intervalu je dovoljno točna.

U primjeni je ta dovoljno točna i lako izračunljiva funkcija najčešće polinom.[1] Problem aproksimacije funkcije f funkcijom g svodi se u tom slučaju na određivanje vrijednosti koeficijenata polinoma a0, a1, … an.

Aproksimacijska funkcija može biti linearna i nelinearna po parametrima. Prema kriterijima za izbor parametara aproksimacije razlikujemo više vrsta aproksimacije, ali glavne su:

Linearna i kvadratna aproksimacija

uredi

Ako je poznata vrijednost funkcije   i vrijednost u nekoj točki   njene prve derivacije   onda polinom

 

od svih polinoma prvog stupnja najbolje aproksimira funkciju u okolini točke  .[2]Takva aproksimacija se ponekad naziva linearnom aproksimacijom. Ako se uzme u obzir i vrijednost druge derivacije onda se dolazi do kvadratne aproksimacije

 

koja se u primjeni, kada je potrebna veća preciznost od linearne aproksimacije, koristi u okolini   gdje poprima pojednostavljen oblik.[3]

Takve aproksimacije su poseban slučaj Taylorovog polinoma i Taylorovog reda.

Izvori

uredi
  1. a b [1], Approximation of functions. Encyclopedia of Mathematics. (pristupljeno 14. studenog 2022.)
  2. Svetozar Kurepa: Matematička analiza 2, funkcije jedne varijable, Tehnička knjiga, Zagreb, 1971. (Teorem 16, str. 57)
  3. Prof. David Jerison, 2006. Linear and Quadratic Approximations. Single Variable Calculus, MIT OpenCourseWare. (pristupljeno 13. studenog 2022.)